Álgebra lineal Ejemplos

$5 + 2 i$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{5^{2} + 2^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{25 + 2^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{25 + 4}$

Paso 2.3

Suma $25$ y $4$ .

$r = \sqrt{29}$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{5} |)$

Paso 4

Simplifica $\arctan (| \frac{2}{5} |)$ .

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Paso 4.1

$\frac{2}{5}$ es aproximadamente $0.4$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\frac{2}{5})$

Paso 4.2

Evalúa $\arctan (\frac{2}{5})$ .

$θ̂ = 0.38050637$

Paso 5

El punto se ubica en el primer cuadrante porque tanto $x$ como $y$ son positivas. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Cuadrante $1$

Paso 6

$(a, b)$ está en el primer cuadrante. $θ = θ̂$

$θ = 0.38050637$

Paso 7

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 8

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 8.1

Combina ${(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{(0.38050637) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$

Paso 8.2

Combina $c$ y $\frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$

Paso 8.3

Combina $i$ y $\frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$

Paso 8.4

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Paso 8.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 8.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Paso 8.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))))}{2}$

Paso 8.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)))}{2}$

Paso 8.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Paso 8.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Paso 8.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Paso 8.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Paso 8.5.8

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Paso 9

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (0)}{2})$

Paso 9.2

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0 π}{2})$

Paso 9.2.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0}{2})$

Paso 9.3

Suma $0.38050637$ y $0$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637}{2})$

Paso 9.4

Divide $0.38050637$ por $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 0.19025318$

Paso 9.5

Multiplica ${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ por $0.19025318$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

Paso 10

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (1)}{2})$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 2 π}{2})$

Paso 10.3

Suma $0.38050637$ y $2 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{6.66369168}{2})$

Paso 10.4

Divide $6.66369168$ por $2$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 3.33184584$

Paso 10.5

Multiplica ${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ por $3.33184584$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$

Paso 11

Enumera las soluciones.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$